Tangente, Normale berechnen (2024)


Wie wir bereits in dem Beitrag Steigung und Tangente gesehen haben, ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ( x0 | f (x0) ) gleichbedeutend mit der Tangentensteigung in diesem Punkt. Deshalb werde ich in diesem Beitrag zeigen, wie wir Tangente und Normale berechnen, mit anderen Worten: Wie man eine Tangentengleichung bestimmt. Als erstes werde ich anschauliche Beispiele vorstellen, danach die allgemeine Herleitung der Tangenten- und Normalengleichung.

  • Tangentensteigerung berechnen
  • Die Graphen
  • Zusammenhang von Steigung, Ableitung, Tangente
  • Normalengleichung berechnen
  • Tangente durch Einsetzen des Punktes berechnen
  • Tangente durch die Ableitung berechnen
  • Anwendungsbeispiel Tangentengleichung
  • Zusammenfassung der Vorgehensweise
  • Links zu Trainingsaufgaben und weiteren Beiträgen

Tangentensteigung berechnen

Dazu betrachten wir die Funktion f(x) und deren Ableitungsfunktion etwas genauer.

Tangente, Normale berechnen (1)

Hierzu stellen wir sowohl für die Funktion, wie auch für deren Ableitungsfunktion eine Wertetabelle auf:

Tangente, Normale berechnen (2)

Aus der Wertetabelle können wir dann den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion f(x) ablesen:

Tangente, Normale berechnen (3)

Mit anderen Worten: im Scheitelpunkt S ist die Steigung von f(x) Null.
Die Tangente in S hat ebenfalls die Steigung Null, sie verläuft dort waagerecht.

Hier die Graphen:

Tangente, Normale berechnen (4)

Tangente, Normale berechnen (5)

Zusammenhang von Steigung, Ableitung, Tangente:

Einsetzen eines x-Wertes in f(x) ergibt die y-Koordinate von P ( x | y ).
Einsetzen eines x-Wertes in f'(x) ergibt die Steigung des Graphen oder die Steigung der Tangente von f(x) im Punkt P ( x | y ).
Die Steigung des Graphen einer Funktion f(x) in einem Punkt P(x0|y0), ist gleich der Steigung mt der Tangente t(x) in diesem Punkt. Außerdem ist diese Steigung gleich der ersten Ableitung in diesem Punkt f'(x0).
Also: Steigung von f(x) in P(x0|y0)
= Steigung mt der Tangente t(x) in P(x0|y0)
= f'(x0) also Ableitung im Punkt P(x0|y0).

Tangentengleichung und Normalengleichung berechnen

Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente an einen Graphen durch deren Berührungspunkt verläuft.
Gegeben ist die Funktion

Tangente, Normale berechnen (6)

Als nächstes bestimmen wir die Gleichung für Tangente und Normale an der Stelle x0 = 2, anders ausgedrückt für den Punkt P ( 2 | f(2) ).

Vorüberlegung zum Tangente, Normale berechnen:

Die Tangente ist eine Gerade mit der Gleichung:
Tangente, Normale berechnen (7)

Die Normale ist eine dazu senkrechte Gerade:
Tangente, Normale berechnen (8). Das nennt man auch den negativ reziproken Wert, also negativ und umgedrehter Bruch.

Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung des Graphen von f(x) im Punkt P.

Vorgehensweise beim Tangente, Normale berechnen:

Wir setzen den Wert für x0 in den Funktionsterm von f(x) ein. Damit erhalten wir die fehlende Koordinate von P.
Dann leiten wir die Funktion f(x) ab.
Danach setzen wir den Wert für x0 in den Ableitungsterm f'(x) ein. Da f'(x) die Steigungsfunktion von f(x) ist, erhalten wir somit die Steigung mt der Tangente in P.

Für die Tangentengleichung t(x) = mtx + bt brauchen wir noch bt. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:

Tangente durch Einsetzen des Punktes berechnen

a) Wir setzen die Werte des Punktes P(x0|y0) ein (Siehe auch Berechnung der Funktionsgleichung einer Geraden Fall I):
Die Steigung mt und die Koordinaten des Punktes P setzen wir als nächstes in die Tangentengleichung ein. Damit erhalten wir den Ordinatenabschnitt bt der Tangente und die Tangentengleichung ist fertig.

t(x) = m_t \cdot x + b_t \quad mit \quad t(x_0) = y_0 \Rightarrow m_t \cdot x + b_t = y_0 \Leftrightarrow \underline{\underline{ b_t = y_0 - m_t \cdot x }}

Um die Gleichung der Normalen zu erhalten, verfahren wir analog, verwenden für deren Steigung jedoch den negativ reziproken Tangentensteigungswert.
Nachfolgende Rechnung das verdeutlicht dies:

Rechnung Tangente, Normale berechnen:

Tangente, Normale berechnen (9)

Die Methode zur Berechnung der Tangente ist vergleichbar mit der, eine Geradengleichung aufzustellen, von der man die Steigung und den Punkt P kennt, durch den sie verläuft.

Siehe auch Berechnung der Funktionsgleichung einer Geraden Fall I.

Hier die Graphen:
Tangente, Normale berechnen (10)

Dazu kannst du dir das 📽️ Video Tangente im Punkt P berechnen ansehen.

Allgemeine Herleitung der Tangenten- und Normalengleichung

Hier die zweite Möglichkeit, um die Tangentengleichung zu bestimmen:

Damit man nicht in jedem einzelnen Fall obige Rechnung erneut durchführen muss, leiten wir nun eine allgemeine Formel her.
Die Tangente soll den Graphen von f(x) im Punkt P (x0 | f(x0) ) berühren.
Die Normale soll den Graphen von f(x) im Punkt P (x0 | f(x0) ) senkrecht schneiden.

Herleitung:

Tangente, Normale berechnen (11)

Auch das kannst du dir in dem 📽️ Video Tangente im Punkt P berechnen ansehen.

Anwendungsbeispiel Tangentengleichung:

Eine Leiter soll so an einen Heuhaufen gelehnt werden, dass sie den Haufen in einer Höhe von 3 m vom Boden aus berührt.
Der Heuhaufen hat die Form einer umgestülpten Parabel, ist 4 m hoch und hat an der Basis einen Durchmesser von ebenfalls 4 m.
Unter welchem Winkel muss die Leiter angelegt werden?
Wie weit vom Fuß des Heuhaufens muss die Leiter auf dem Boden aufgesetzt werden?

Tangente, Normale berechnen (12)

Wir legen die y – Achse durch den Scheitelpunkt des Graphen.

Die Parabel hat die Funktionsgleichung:

Tangente, Normale berechnen (13)

Tangente, Normale berechnen (14)

Tangente berechnen:

Tangente, Normale berechnen (15)

Der Abstand vom Heuhaufen, wo die Leiter aufgesetzt werden muss, ist der Abstand zwischen der Nullstelle von f(x) und der Nullstelle von t(x).

Nullstellen:

Tangente, Normale berechnen (16)

Die Leiter muss also 0,5 m vom Fuß des Heuhaufens entfernt auf den Boden aufgesetzt werden.
Aus dieser Aufgabenstellung haben wir gelernt, wie man die Gleichung einer Tangente bestimmt, die den Graphen in einem definierten Punkt berührt.

Beispiel:

Wir ermitteln die Gleichung der Tangente, die den Graphen von f(x) im Punkt P berührt.

Tangente, Normale berechnen (17)

ZusammenfassungTangente, Normale berechnen:

Tangente, Normale berechnen (18)

Wie geht man vor, wenn wir die Formel anwenden?

Wenn die Koordinate x0 bekannt ist.
Die 2. Koordinate von P erhält man durch Einsetzen von x0 in den Term von f(x).
Dann bilden wir die Ableitung von f(x), also f'(x).
Die Steigung der Tangente erhält man durch Einsetzen von x0 in den Term von f'(x).
Danach setzt man die berechneten Werte in die Gleichung für Tangente bzw. Normale ein und vereinfacht diese durch Umformen.

Hier findest du Aufgaben und Lösungen zur Tangente.

Weitere Aufgaben auch hier: Aufgaben Differential- und Integralrechnung VI.

Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung.

Tangente, Normale berechnen (2024)

FAQs

How to use atan2 function? ›

ATAN2(a,b) equals ATAN(b/a), except that a can equal 0 in ATAN2. If both x_num and y_num are 0, ATAN2 returns the #DIV/0! error value. To express the arctangent in degrees, multiply the result by 180/PI( ) or use the DEGREES function.

What is atan2 in Matlab? ›

P = atan2( Y , X ) returns the four-quadrant inverse tangent (tan-1) of Y and X , which must be real. The atan2 function follows the convention that atan2(x,x) returns 0 when x is mathematically zero (either 0 or -0 ).

What is atan2 vs atan? ›

The atan function calculates the arctangent (the inverse tangent function) of x . atan2 calculates the arctangent of y / x (if x equals 0, atan2 returns π/2 if y is positive, -π/2 if y is negative, or 0 if y is 0.)

What is the difference between arctan and arctan2? ›

In conclusion, if you are calculating something that ranges between -90 and 90 degrees like latitude, use arctan. If calculating an angle that can be between -180 and 180 degrees, use arctan2.

What is the tan 2 function? ›

The term "tan^2(x)" refers to the square of the tangent function of angle x. It is calculated by squaring the value obtained from the tangent function.

How do you answer arctan? ›

Arctan function is the inverse of the tangent function. It is usually denoted as arctan x or tan-1x. The basic formula to determine the value of arctan is θ = tan-1(Perpendicular / Base).

Is atan2 always positive? ›

atan2 returns a positive result when x value is negative and y value is positive #806.

How do you solve atan? ›

tan − 1 ( z ) = i 2 log ( i + z i − z ) . This definition of the atan function returns angles in radians within the interval [-π/2, π/2]. To find the four-quadrant inverse tangent, where the returned angles are in the interval [-π, π], use atan2 .

Does atan mean arctan? ›

Yes, "atan" is "arctan", the (limited) inverse function of "tan" and tan^-1 is 1/tan, the reciprocal of "tan".

What quadrants can arcsin be in? ›

But Arcsine only looks in quadrants I and IV.

What is the opposite of arctan? ›

Since f−1(f(x))=x f - 1 ( f ( x ) ) = x and f(f−1(x))=x f ( f - 1 ( x ) ) = x , then f−1(x)=tan(x) f - 1 ( x ) = tan ( x ) is the inverse of f(x)=arctan(x) f ( x ) = arctan ( x ) .

Where is arccos positive? ›

The arccosine of a positive number is a first quadrant angle, cos-1(+) is in quadrant I. The arccosine of zero is π/2, cos-1(0) is π/2. The arccosine of a negative number is a second quadrant angle, cos-1(-) is in quadrant II. The arctangent of a positive number is a first quadrant angle, tan-1(+) is in quadrant I.

What is arctan2 used for? ›

The atan2 function is useful in many applications involving Euclidean vectors such as finding the direction from one point to another or converting a rotation matrix to Euler angles.

How does atan2 work in Excel? ›

ATAN2(y,x) returns the arc tangent of the two numbers x and y. It is similar to calculating the arc tangent of y / x, except that the signs of both arguments are used to determine the quadrant of the result. The result is an angle expressed in radians. To convert from radians to degrees, use the DEGREES function.

What is the atan2 function in C++? ›

The atan2 function returns the inverse tangent of y/x using the sign of both numbers to determine the quadrant for the return value. It correctly handles the case in which x is 0 . (That is, it returns π/2 times the sign of y for nonzero y ; if y is 0 , the result is implementation-defined and might be a range error).

What is atan2 in coding? ›

atan2() method returns the arctangent of the quotient of its arguments, as a numeric value between PI and -PI radians. The number returned represents the counterclockwise angle in radians (not degrees) between the positive X axis and the point (x, y).

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